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有限射影平面

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  有限射影平面_理学_高等教育_教育专区。1、 2、 有限射影平面 我们先看一个有趣的问题:有一位好客的女主人打算邀请 7 位朋友来家里聚会,每 次聚会她只想邀请 3 位宾客,但是她希望其中的任何两位朋友都恰好在一次聚会上见面, 那么她应

  1、 2、 有限射影平面 我们先看一个有趣的问题:有一位好客的女主人打算邀请 7 位朋友来家里聚会,每 次聚会她只想邀请 3 位宾客,但是她希望其中的任何两位朋友都恰好在一次聚会上见面, 那么她应该怎样安排呢?这样的安排是否存在? 我们简单试一下就会发现,任何两次聚会中必须有一位相同的朋友被邀请到. 换句话说,如果第一次邀请 A、B、C,第二次邀请 D、E、F,这样安排是行不通的.下面我 们给出一种可行的安排方案: 第一次邀请 A、B、新萄京C;第二次,邀请 A、D、E;第三次,邀请 A、新萄京F、G;第四次, 邀请 B、D、F;第五次,邀请 B、E、G;第六次,邀请 C、D、G;第七次,邀请 C、E、F.我 们可以用下面的一个图形来表示这个邀请方案: 上面的图形是非常有名的! 它是由数学家 G.Fano 在 1892 年提出的,实际上,它就是 定义在二元域上的二阶射影平面 PG(2,2). 射影几何的研究始自法国数学家 G.Desargues 的 1639 年的著作,但是在当时并 没有引起人们的重视.一直到两个世纪后,由于法国著名数学家 J.V.Poncelet 著作(1822) 的发表,射影几何才开始受到数学界的重视,更使其成为 19 世纪几何学研究的重点.射影 几何学在古典几何学中是最基础的、最广泛的而且是最自由的.它是公理化数学的典型 之一例,也可以说它是现代数学的先驱. 定义 射影平面(P,L)是由点集合 P 和线集合 L 构成的,它是满足下面条件的 平面 1、任意两个点决定一条直线,每条直线、任意两条直线 点集,使其中的任意三个点不在一条直线上. 注意,定义中的条件 3 是为了排除射影平面只有一条直线的平凡情形的. 定理 4.1 设(P,L)为射影平面,其中点集合 P 含 v 个点,线集合 L 有 b 条线 ,使 v ? b ? k ? k ? 1 ,而且每条直线 个点,过每个点有 k ? 1 条线. 我们称上述定理中的 k 为射影平面(P,L)的阶数.在有限射影几何中一个非常重要的核 心问题是:对给定的自然数 k , k 阶射影平面是否存在?如果存在,则有几种类型? 定理 4.2 2 阶射影平面是唯一的. 证明 由于是 2 阶射影平面,所以只能有 7 个点,不妨设点集合为{0,1,2,3,4,5,6}. 因为过点 1 有三条直线 也有三条直 线},所以另外的两条直线}.由射影 平面的定义,点 4 和点 0 应该决定一条直线,而且其上的另外一点为点 5.同理,点 3 和点 4 也决定一条直线,其上的另外一点为点 6.则其决定的射影平面如图示: 我们很容易验证,上图与前面的 Fano 图形是一致的,即 2 阶射影平面唯一. 下面我们再给出 3 阶射影平面的图示: 其中 13 条直线},{2,5, 8,13},{3,6,9,13},{1,5,9,12},{2,6,7,12},{3,4,8,12},{1,6,8,10},{2,4,9, 10},{3,5,7,10}, {10,11,12,13}. n 定理 4.3 如果给定的自然数 k ? p , p 为素数,则 k 阶射影平面存在. 证明的方法是利用有限域上的线性空间去构造 k 阶射影平面.我们在后面的章节会 给出详细的证明. 通过上述的定理,我们知道 2,3,4,5,7,8,9 阶射影平面是存在的,而且进一步知 道,2,3,4,5,7,8 阶射影平面是唯一的,9 阶射影平面至少有 4 种.6 阶射影平面不存 在.1991 年加拿大的林永康(Clement Lam)教授研究小组,利用计算机证明了不存在 10 阶射影平面,但是严格的数学逻辑证明目前还没有.至于其它阶数的射影平面是否存 在,目前还不知到.

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